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Bézout & Gauss
a) Démontrer que, pour tout entier relatif $\textcolor{#caa7ff}{n}$, $\textcolor{#caa7ff}{14n + 3}$ et $\textcolor{#caa7ff}{5n + 1}$ sont premiers entre eux.
b) En déduire $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(87;31)}$.
c) A l'aide des résultats précédents, déterminer une solution particulière $\textcolor{#caa7ff}{(u;v)}$ de l'équation $\textcolor{#caa7ff}{87u + 31v = 1}$.
a)
$$\textcolor{#caa7ff}{
5(14n + 3) - 14(5n + 1)
= 70n + 15 - 70n - 14
= 1
}$$
$\textcolor{#caa7ff}{1}$ est alors une combinaison linéaire de $\textcolor{#caa7ff}{14n + 3}$ et $\textcolor{#caa7ff}{5n + 1}$, donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\exists (u;v) \in \mathbb{Z}^2 \quad \text{tel que} \quad u(14n + 3) + v(5n + 1) = 1
\newline
\iff PGCD(14n + 3;5n + 1) = 1
\newline
\iff
\boxed{
14n + 3 \text{ est premier à } 5n + 1
}
}$$
b) Pour $\textcolor{#caa7ff}{n=6}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
14n + 3 = 87
\text{ et }
5n + 1 = 31
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\exists (u;v) \in \mathbb{Z}^2 \quad \text{tel que} \quad u \times 87 + v \times 31 = 1
\newline \iff
\boxed{
PGCD(87;31) = 1
}
}$$
c)
$$\textcolor{#caa7ff}{
\forall n \in \mathbb{Z} \quad 5(14n + 3) - 14(5n + 1) = 1
}$$
Or, pour $\textcolor{#caa7ff}{n = 6}$
$$\textcolor{#caa7ff}{
14n + 3 = 87
\text{ et }
5n + 1 = 31
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
5 \times 87 - 14 \times 31 = 1
}$$
On trouve donc un couple solution de l'équation :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
(u;v)
= (5;-14)
}
}$$